I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Từ đồ thị hình 1 và hình 2 dưới đây, hãy chỉ ra các khoảng tăng giảm của hàm số $y=cosx$ trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ và hàm số $y = \left| x \right|$ trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right).$

                                                                     Hình 1


                          Hình 2

* Định nghĩa

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K.

Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu:

$\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

Hình 3

Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu:

$\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Hình 4

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

Nhận xét:

a) $f\left( x \right)$ đồng biến trên K

$\begin{array}{*{20}{l}}
  { \Leftrightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} > 0,\forall {x_1},{x_2} \in K} \\
  {\left( {{x_1} \ne {x_2}} \right)}
\end{array}$

$f\left( x \right)$ nghịch biến trên K

$\begin{array}{*{20}{l}}
  { \Leftrightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0,\forall {x_1},{x_2} \in K} \\
  {\left( {{x_1} \ne {x_2}} \right)}
\end{array}$

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình 3).

Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình 4).

* Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng:

$y =  - \frac{x^2}{2}$

* Bảng biến thiên

* Đồ thị

Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng. Từ đó hãy nêu nhận xét về mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm.

Ta thừa nhận định lí sau:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên K

1. Nếu $f'\left( x \right) > 0$ với mọi x thuộc K thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên K.
2. Nếu $f'\left( x \right) < 0$ với mọi x thuộc K thì hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên K.

* Chú ý

Nếu $f'\left( x \right) = 0$ với mọi x thuộc K thì hàm số $f\left( x \right)$ không đổi trên K.

II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$. Tìm các điểm ${x_i}\left( {i = 1,2,...,n} \right)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm ${x_i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ:  Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 2$

Giải: 
Hàm số xác định với mọi $x \in R$, ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}
  {y' = {x^2} - x - 2} \\
  {y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x =  - 1} \\
  {x = 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}$

* Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;2} \right)$.